也正是从后一角度去分析，笔者以为，我们在此就应认真思考“可能性”概念的教学是否应当采取上述的活动形式？因为，亲手“摸”一次对于掌握“可能性”的概念未必有直接的促进作用；而且，在所说的课例中，由于学生并不知道其它小组的“工作背景”，或者说，由于各个小组的活动并不具有共同的关注点，因此，大多数学生对于其它组所得出的数据就没有表现出任何的兴趣，恰恰相反，过多的“不相干”数据事实上只是冲淡了主要的教学目标。

综上所述，这就是笔者在这一问题上的一个基本主张：与单纯的追求形式相比，我们在组织数学活动时应当更加注意以下的问题：究竟为什么要让学生去从事相应的活动？又如何才能使之真正成为学生的自觉行为？

显然，从这样的角度去分析，以下的论述就是很有道理的：“我们不能仅仅从表面上看课堂是否活跃，我们不仅要关注每个学生是否在动口、动手，还要关注在合作小组内，每个学生在说些什么，做些什么”（刘兼，“对课程改革中几个问题的思考——刘兼教授访谈录”，同前）当然，从更为深入的角度看，我们则又不仅应当关注学生在做什么（what）？而且还应考虑为什么要这样作（why）？这样作了又究竟产生了什么样的效果（how）？

例如，正是基于后一方面的考虑，笔者以为，以下的教学模式就是不应提倡的：“在美国的数学课堂上我们看到了学生与教师的互动，但却看不到数学。”（详可见另文“三种不同的教学模式——《教学的差距》简介”，载郑毓信，《数学教育：从理论到实践》，上海教育出版社，2002）进而，如果说上述的结论即是国际上的相关实践从反面为我们所提供的一种“教训”，那么，以下关于“结构性实物操作”的分析则就从正面为我们搞好“活动教学”提供了重要启示。

具体地说，作为动手实践的一种具体形式，各种教学用具在数学教学、特别是低年级的数学教学中得到了广泛应用，因为，通过教具的实际操作学生就可获得必要的经验、从而也就可更好地理解相关的数学概念。然而，也正是从后一角度去分析，我们又应十分注意教学用具的适当性，因为，只有当前者的明显特征与我们所希望建立的数学关系较为一致时（这就是所谓的“结构性实物操作”），所说的实物操作才能产生较好的效果。

例如，为了帮助学生较好地掌握十进位制记数系统，人们常常使用十进制计数块（10-base blocks）或有色的筹码。但是，由于在后一种情况下位值与筹码颜色之间的关系是随意指定的（即如用黄色表示单位值1，用红色代表10，用绿色代表100等），筹码本身就不能提供关于它的值的任何暗示；与此相对照，十进制数块的制作则明显地提示出大一点的块是较小的块的十倍，从而，后者就更有利于学生建立起对于位值原理的正确认识。

最后，又如常州的同行们所指出的，我们在此并应十分注意操作活动的适当的“度”以及“活动的必要内化”，这就是说，“操作活动要适量、适度。所谓适量，就是不要动辄就操作，操作也不是多多益善。适度是指当学生的认识积累到一定程度时，就应该及时让学生的形象思维向抽象思维转化。”（[5]）

为了清楚地说明问题，以下再联系代数思维的基本形式对所说的“活动的内化”作出进一步的分析。

具体地说，这正是数学思维现代研究的一个重要成果，即是指明了“凝聚”、也即由“过程”向“对象”的转化构成了数学思维、特别是代数（包括算术）思维的一个基本形式。这就是说，有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终则又转化成了一个对象——对此我们不仅可以研究它们的性质，也可以此为直接对象施行某些新的运作（对于所说的“运作”应作广义理解，即未必是指具体的运算，而也可以包括任何一种数学运演，甚至不一定要有明确的算法）。（详可见郑毓信、肖柏荣、熊萍，《数学思维与数学方法论》，四川教育出版社，2001）

例如，加减等运算在最初都是作为一种过程得到引进的，也即代表了这样的一个“输入—输出”过程：由两个加数（被减数与减数）的值我们就可进而求得相应的和（差）；然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们并可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，在此事实上就经历了一个“凝聚”的过程，也即是由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。

但是，这里所说的由“过程”向“对象”的转变究竟是如何实现的呢？或者说，究竟什么是与“凝聚”这一思维形式直接相关的思维过程呢？作为一种可能的解释，著名以色列数学教育家斯法德（A. Sfard）提出了如下的“三阶段说”，即是认为所说的思维过程包括了这样三个阶段：第一，内化（interiorization）；第二，压缩（condensation）；第三，客体化（reification or objectification）。其中，“内化”和“压缩”可视为必要的准备：前者是指用思维去把握原先的视觉性程序，这也就是说，我们在此已不再是由前一个步骤依次实际地去启动下一个步骤，而是在头脑中建立起相应过程的整体性心理表征；后者则是指相应的过程被压缩成了一个更小的单元，从而我们就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思——我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象水平去对整个过程的性质作出分析，即如我们可以仅仅考虑整个运作的效用，而不必具体地去涉及相应的运算过程，即如7-2究竟是由2往前数、还是由7向后数。最后，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，即是用一种新的视角去看一件熟悉的事物：原先的过程现在变成了一个静止的对象。

显然，就我们目前的论题而言，以上的研究即就更为清楚地表明了这样一点：如果我们始终停留于实际操作的层面，而未能很好地实现活动的“内化”，包括思维中的必要重构，则就根本不可能发展起任何真正的数学思维。（对此并可见[3]）

特殊地，由以上的分析我们显然也可这样的结论：我们不仅应当让学生看一看、摸一摸、做一做，而且，随着学生年龄的增大，我们也应让他们算一算、画一画（指几何图形），另外，更为重要的是，我们又应十分注意引导学生去想一想！

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