另一个问题则是对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，这同样是多年来争论不休，各不相让的问题，叫了多少年的“欧几里德滚出去”的口号，可是仍有不少人认为，任何数学问题。最终还是需要建立在几何的基础上，这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它一定的道理。当然几何究竟应该处于怎样一个恰当的地位，它在数学体系的教学中，可以起什么样的作用，到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。

4．相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志——集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发，它冲破了传统数学的僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的道路。算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新与旧，高与低；概念数学果然体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度；而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念深度，同时也为了有个广阔的平台为基础，可以跳导更高。

 一个典型的例子，相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反?通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，…，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，很少人会作这样的推理：两个杯子最终还是含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种解法就是思辨的。

在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力。韦达(Vieta)的代数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果，近年来的同调论以及同态图解法也是惊人的例子，算法数学确实有其迷人之处，通过算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎梏，必须跳出这个圈子，才能在数学的视野范围上有所拓广、有所深入，墨守成规地机械操作，必须随之以概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。集合论的诞生，公理系统的建立，布尔巴基学派的出现，又证明了这一点。

 如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教育，也是经常使人感到困惑的问题之一。其实这个问题，就是知识与技能的关系，是强调概念，强调理解，还是着重运算，着重操作?有人认为理解是基础，有人又主张熟能生巧。在我国的中小学数学教育中，似乎也不乏这方面的颇具说服力的例子，算术中的九九表，分数的运算；国外对于计算器使用的教育等，看来也必须用辩证的方法来处理这一辩证的关系，应该使我们的数学教育，能在算法的数学与思辨的数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。

第二节  关于数学教育目的的探讨

   学习数学究竟是为了什么?进行数学教育，最终要达到什么效果?弗赖登塔尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。例如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基本的目的?这是否还有教育价值?

另一方面，在概率与数理统计取得迅速进展的情况下，我们的数学教育是否还能闭眼不看这一事实，而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望?那就是说，数学本身的飞跃发展与变化，自然也影响到数学教育的目的，因为我们毕竟是要让学生能运用数学来解决社会的实际问题。可是，数学有着如此广泛的应用，究竟教到哪个范围才是最合适的?

   再一个问题就是学生的情况，因为需要是一会事，可能又是另一会事，这依赖于学生的接受能力，是否能理解某些数学内容，当然这也必须包括教学过程中所作出的各种努力；就像有些试验声称小学就可以教群论，这恐怕是一种过于夸张的说法，如果仅仅是用几个特殊的群进行一些具体运算，恐伯只是行家才知道他们在学习群论，对学生来说，这只是一些有用的学习活动，但并未理解它的真正实质。

  弗赖登塔尔对通常提到的一些数学教育的目的，进行了仔细的分析与探讨：

  1．掌握数学的整个体系

    因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪些概念和技能，难以预料，于是只能根据数学内在的体系出发，希望通过数学教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。

    这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一个方面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强调数学体系，以之作为数学教育的最终目的，那不恰当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学内容的取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反感。

    这种目的的提出，一般都出自于专家权威，他们更多地倾向于培养数学家，更多地着眼于数学的严密与完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽略了社会的要求与学生的实际。

    2．学会数学的实际应用

    应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应该是数学教育的首要目的,也就是必须学会数学在解决实际问题中的作用、会运用数学知识于具体现实，而不是一味追求完整的数学体系。

    大家都同意，教数学就必须教互相连贯的材料，而不是孤立的片断，但这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使数学僵化，而数学的最大特点就是灵活性。所以一般说来,还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生硬的或是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联系，譬如说通过数学与其他自然科学的生动联系，目前物理、化学的教学与数学的教学显然是互相割裂、各行其是的，尤其在教师培训工作中，问题更为严重。

   了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学成为应用于实际的锐利工具，而且将会使人们所掌握的知识长期地富有活力，可以断地联系实际、发挥作用，而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。

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