1.2 揭示随机思想与其它数学思想方法之间的内在联系

在高中统计与概率中，随机思想与其它一些重要数学思想如统计思想、分类思想、归纳思想等诸多重要数学思想之间存在着密切的联系，准确揭示它们之间的内在联系不仅可以深入领会这些数学思想方法的本质，而且可以深化对统计与概率的理解。

（1）随机思想与分类、归纳等确定性数学思想．

随机通常是指事件不可预测．具体来说，随机包含两方面的含义，一方面，单一事件的不确定性和不可预见性（具有偶然性）；另一方面，事件在经历大量数次重复试验中表现出规律性（具有必然性）[3]．虽然随机思想是从解决现实世界中的不确定性问题发展起来的，但随机思想其实不过是高维的确定性问题作低维处理的一种方式而已．比如每次掷骰子的结果，显然应该是其初始条件向量与过程中很多细微因素共同形成的，皆因现时无力探知、掌握和控制它们，这才将其（很多因素）统一地以一个随机因素ξ来表示．其实，确定数学又何尝不是如此，确定性数学模型的建立过程中也丢掉了不少“弱”因素．因此，从实践意义上讲，确定数学也应该是随机的．随机数学与确定数学仅仅只是处理方法上的差别而已[4]．而从随机思想的起源来看，它又是分类、归纳等确定性数学思想的进一步发展和具体运用．事实上，作为定量研究随机思想的概率和统计方法最先起源于归纳法，概率的发展经历了从归纳法到概率归纳法再到概率论的发展过程，而统计思想则是“由局部到整体”、“由特殊上升到一般”，是归纳法在数学上的具体应用[5]．追而溯之，归纳的过程又需要分类、特殊化、一般化等方法的综合运用才能实现．归纳首先按照一定的标准将研究对象进行分类研究，在分类基础上通过特殊化方法将对某类对象的研究转到包含该类中较小的一类对象的研究．特殊化以后还要进一步一般化才能真正完成归纳的过程．

（2）随机思想与统计、概率思想．

作为研究随机现象的学科，概率是从数量的角度来研究大量的随机现象，从中寻找这些随机现象所服从的统计规律，并用严格的数学方法研究各种随机现象的统计规律之间的相互联系[6]．而统计思想则是从一组样本分析、判断这个系统的状态，或判定某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出发生错误判断的概率[5]．尽管随机思想与统计、概率思想研究的都是随机现象，但随机思想更基本，因为无论是概率的研究还是统计的研究都必须建立在事件的发生具有随机性这一思想前提之上，没有随机思想，就没有统计与概率，研究大量复杂现象也将变成空话．而概率与统计思想则更深刻、更精确，是对随机思想的量化发展．前已述及，随机思想既具有偶然性一面，又具有必然性一面，然而必然性并不会自动显现出来，它总是隐藏在偶然现象背后并通过大量随机的偶然现象表现出来，那么如何来发现和把握偶然现象背后的必然性呢？这就需要依靠统计和概率方法来准确把握偶然现象背后的必然性——统计规律和概率规律．比如抛掷一枚硬币，究竟是正面朝上还是反面朝上通常被认为是完全随机的，这就是随机思想，但这一思想通常是根据经验或直觉得出来的，因此它实际上是一种经验性的随机思想．而如果通过统计的方法去计算出某一次试验中正面朝上和反面朝上的数目，再进一步通过概率方法计算出正面朝上和反面朝上的概率，那么就可以揭示出这一试验背后的内在规律——正面朝上和反面朝上的概率几乎相等．

（3）随机思想与等可能假设．

所谓等可能性假设，它是按照等可能性对研究对象进行分类以便于更好地研究问题．它是一种理想化的假设，它特别适用于复杂事件的研究，当决定一个事件发生的原因很多，而且这些原因本身没有主次之分，或者即使有主次之分，但这些原因对各种可能结果的作用不存在明显的差别时，我们可以理想化地认为各种结果的发生机会是等可能的．如抛掷一枚硬币若干次，尽管每次抛掷时的抛掷位置、抛掷方向、抛掷速度、用力程度以及当时的风力、风向都各不相同，但我们却可以忽略各个具体试验的特殊条件，而把每次试验都看作是等可能性事件．可以说，等可能性假设在统计与概率的研究中有着基础的重要性，这是因为无论是统计中的抽样还是概率中的试验，都要以等可能性思想为前提，或者至少是在局部用到等可能性思想．统计中的抽样总是要尽可能遵循随机或等可能的原则；概率则是对“可能性”的量化，对不确定的、随机的事件及其随机性的度量与估计．

随机思想与等可能性假设之间又存在着密切的联系，这种联系主要表现为随机思想与等可能性假设之间既对立又统一．一方面，这两者之间存在着差别，随机思想是人们对现实世界中大量随机现象的一种本质认识，而等可能假设则是人们为了研究问题方便所做的一种理想化假设．前者是一种规律性认识，其正确性已经被大家所公认；而后者只是一种假设，其正确性有待检验．另一方面，这两者之间又存在统一性，随机思想是研究随机现象的立足点和出发点，而等可能假设则是研究随机现象的一种具体方法，它是随机思想在研究随机现象过程中的具体运用．没有等可能假设，随机思想就只能是空想，对随机现象进行定量研究就成为一句空话．事实上，随机往往总会表现为一定程度的等可能性，如果不存在丝毫的等可能性，那么这样的随机又怎么能称得上随机呢？同样，没有随机思想，等可能假设也就成了无源之水，无本之木．比如刚才所提到的抛掷硬币的试验，尽管我们都知道并不存在真正意义上的等可能事件，但我们却可以在不影响结果正确性的前提下假定每次试验都是等可能的，为什么呢？其根本原因就在于我们有随机思想这一思想基础，否则我们就无法进行哪怕是最简单的研究．

2 进一步揭示其它重要数学思想及其内在联系

在高中统计与概率中不仅涉及很多重要数学思想方法，而且这些数学思想方法之间还存在着错综复杂的关系，廓清这些数学思想方法之间的内在联系，不仅有助于我们准确把握各种数学思想方法的本质，而且有助于我们更好地改进统计与概率的教学，这里择其精要略作分析．

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