复习提问

问：相似三角形的定义是什么？

生：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

问：通过相似三角形的定义，你能得到一些什么样的性质？

生：两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

问：其应用格式是什么？以图为描述对象：

生：∵ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，

　　∴∠A＝∠A₁，∠B＝∠B₁，∠C＝∠C₁

问：什么叫相似比？

生：对应边的比。

新课过程

人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．古代一位数学家泰勒斯到埃及游学，泰勒斯出身贵族，在和家人分家的时候，泰勒斯一样东西也不要，带些钱只身到埃及游学。认识他的人，都叫他傻子。

师：学了地理，你们知道埃及的气候怎样？

生：高温、晴朗，大部分面积是沙漠。

师：是的，但尼罗河两岸是生机勃勃的村庄。灼热的阳光照耀下，热气在大地上升腾，翻滚的热浪，一阵阵拂过人们的面庞，泰勒斯与他的弟子们，还有一些埃及贵族，坐在金字塔的阴影中谈论着一些琐事。

一位贵族想戏弄一下泰勒斯，对泰勒斯说到：“亲爱的泰勒斯先生，到埃及的日子也不短了，有什么收获呢？总不能空手而归吧？”

泰勒斯从容不从容不迫的答道：“亲爱的先生们，我们或许追求不同，也许你喜欢金钱，也许你喜欢女人，而我则不同，只以追求科学知识为光荣。”

泰勒斯继续说到：“我到埃及游学，学到了很多知识，并把几何提到了证明的理论高度，并给予证明”。

贵族说到：“您的那些东西，又有什么用呢？它能算出金字塔的高吗？”

泰勒斯并没有立即想出办法来：“怎样测出金字塔的高度，让我回家好好想一想，五天后见。”

师：前面我们学了有关比例的知识，你能想出办法来吗？

生：用我们前面做过的题，使用比例式： ，放一根杆子就能测出来了。

师：呵呵，要以同学们现在的知识，在古代埃及，就是一位大数学家啦！希望同学们通过自己的努力，能成为以后的数学家，可以想象得出来，五天后，泰勒斯正是用这个方法测出来的。受到了人们的欢呼。明天我再给大家讲讲泰勒斯是如何利用知识发财的。

如图所示，如果ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，AD是BC边上的高，A₁D₁是B₁C₁边上的高，且 ＝k，请大家猜想： 与相似比有何关系？

生： ＝ ＝k

师：猜想要经过证明才能作为结论使用，请大家想一想，如何证明？

(留几分钟给学生思考)

分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA₁B₁D₁中，只需要证这两个三角形相似即可。再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？

请大家写出证明过程(此时大多数学生已能找到证题思路)

证明：∵ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，

　　　∴∠B＝∠B₁

　　又∵AD是BC边上的高，A₁D₁是B₁C₁边上的高

　　　∴∠ADB＝∠A₁D₁B₁＝90°

　　　∴ΔABD∽ΔA₁B₁D₁(AA)

　　　∴ ＝ ＝k

师：请大家用语言来总结这个结论？

生：相似三角形的对应高的比等于相似比。

邓亚平：老师，我认为还可以总结得更一般点？

师：说说你的想法？

邓亚平：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。

师：你们大家的看法呢？

生众：可以这样总结，我们也是这样认为的。

师：首先对这种思考方式表示赞赏，非常不错的。但要说明的是，根据一些特殊的结论来进行推广，属于我们合情推理的一部分，但这种推理有些是正确的，而有些会产生错误。能不能再举一点例子说明你们这个结论的正确性？

生：还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论(情绪高涨)。

师：好的，来看一看，如何证明？

如图所示，如果ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，AD是∠BAC 的角平分线，A₁D₁是∠B₁A₁C₁的角平分线，且 ＝k，试证： ＝ ＝k。

生：简单，证得∠BAD＝∠B₁A₁D₁即可。

师：大家在学习新东西的时候切勿眼高手低，一定要塌实的完成例题，否则很容易导致失误。另外数学的书写格式很重要，特别对于考试来说，步骤是按步得分，如果有跳步现象就是要被扣分，如果有重复书写，就是浪费了时间。所以还是请大家认真写出证明过程来。

生：∵ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，

　　　∴∠BAC＝∠B₁A₁C₁

　　又∵AD是∠BAC 的角平分线，A₁D₁是∠B₁A₁C₁的角平分线

　　　∴∠BAD＝ ∠BAC，∠B₁A₁D₁＝ ∠B₁A₁C₁

　　　∴∠BAD＝∠B₁A₁D₁

　　　∴ΔABD∽ΔA₁B₁D₁(AA)

∴ ＝ ＝k

师：没有写清楚的同学请自己改正，这个问题解决了，对应中线的比呢？

如图所示，如果ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，AD是BC边上的中线，A₁D₁是B₁C₁边上的中线，且 ＝k，试说明： ＝ ＝k。

生：一样的证明。

师：是一样吗？再仔细看看。

生众：有一点不一样，就是要利用 (S顶上的字母r表示成比例的意思，以后同)来证ΔABD∽ΔA₁B₁D₁( )。

师：是的，要细心一点，请大家写出证明过程。

生：∵ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，

　　∴∠B＝∠B₁

　又∵AD是BC边上的中线，A₁D₁是B₁C₁边上的中线

　　∴BC＝2BD，B₁C₁＝2B₁D₁

　　∴

　　∴

　　∴ΔABD∽ΔA₁B₁D₁( )

　　∴ ＝ ＝k

师：谁来总结一下这个小结论？

生：相似三角形的对应中线的比等于相似比。

师：你们说的是一切对应线段的比等于相似比，这几个也是特殊的，我也要难一难你们，更一般地，能证明下面的结论吗？

如图所示，如果ΔABC∽ΔA₁B₁C₁， D是BC边上的点，且BD＝ BC；D₁是B₁C₁边上的点，且B₁D₁＝ B₁C₁，且 ＝k，试说明： ＝ ＝k。

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