“又∵AD是BC边上的中线，A₁D₁是B₁C₁边上的中线

　　∴BC＝2BD，B₁C₁＝2B₁D₁

　　∴ ”

　改为：∵BD＝ BC，B₁D₁＝ B₁C₁

　　　　∴BC＝3BD，B₁C₁＝3B₁D₁

　　　　∴

师：呵呵!你们很会偷懒的，不过这里偷懒无罪，积极动脑该表扬，这也是积极动脑的表现，前面我们提到跳步的现象这里还不存在，这点我很满意，大家的态度是很认真的，在这里我更满意的是这里的“偷懒”行为。因为前面几位同学的步骤实在是太繁，我不想提出来，是希望激出某类“偷懒”的行为，现在成功了。主要是通过代换将式子化为我们的需要的式子。由衷的为你们的自发性成功道贺。不过别得意，好戏还在后头，我还要再难一难你们，接招：

把A、A₁分别沿AB、A₁B₁移动到E、E₁的位置，如下有：

如图所示，如果ΔABC∽ΔA₁B₁C₁， D是BC边上的点，且BD＝ BC；D₁是B₁C₁边上的点，且B₁D₁＝ B₁C₁；E点在AB上，且AE＝ AB；点E₁在A₁B₁上，且A₁E₁＝ A₁B₁，有＝k，试说明： ＝ ＝k。

生：简单，只需要改动前面证明过程中比例式的左半部分就可以了。按您这么变，还可以更随意一点的。

师：是的，看来你们是能够说服我的了，因为这个定理是邓亚平先说出来的，尽管其它同学也在下面小声的说，我们把这个结论命名为……

学生(兴奋地)接话：邓亚平定理。(相似三角形一切对应线段的比等于相似比。)

师：好的，除了相似三角形外，更一般的……

生：相似形的一切对应线段的比等于相似比。

师：好的。同学们的总结的好处再于，我们把众多的结论归结为一个定理，不但使我们记忆负担减轻了(现在只需要记一个定理)，更重要的是使我们的……

生接话：认识更深刻了。也利于这个知识的应用。

师：还有我们是站在一个系统的高度认识问题的。还有什么问题吗？

生：面积的比与相似比有何关系呢？

师：我也正想问呢，你们觉得呢？

生：(有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方)

先看一个具体的例子:

如图，ΔABC与ΔA₁B₁C₁相似比为1∶2，后者的面积为前者的多少倍？

生：后者是前者的4倍。

师：如果ΔABC与ΔA₂B₂C₂相似比为1∶3呢？

生：后者的面积是ΔABC的面积的9倍。

师：根据这个特例，我们可以得出我们的猜想……

生：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

师：如何证明呢？

如图所示，如果ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，AD是BC边上的高，A₁D₁是B₁C₁边上的高，且 ＝k，请大家证： ＝k²

师：请大家思考几分钟。

李伟上黑板做(其余同学在下面做)：

李伟：∵ΔABC∽ΔA₁B₁C₁，

　　　∴ ＝ ＝ ＝k(相似三角形一切对应线段的比等于相似比)

　　又∵AD是BC边上的高，A₁D₁是B₁C₁边上的高

　　　∴ ＝ ＝ ·＝k·k＝k²

师：很好，刚学会定理就用，要这样。我们还可以这样来理解，三角形的面积等于底与相应的高的积的一半，两个三角形的底边扩大与缩小相同的倍数，其高也相应的扩大与缩小相同的倍数，其乘积将扩大与缩小相同的倍数的平方。

师：你们的猜想是正确的，请体会一下这个结论。

口答：两个相似三角形的相似比为2∶3，则面积比为__________。(生：4∶9)

　　　两个相似三角形的面积比为25∶16，则相似比为_________。(生：5∶4)

师：如何来的呢？

生：已知面积比求相似比，把面积比开方就可以了。

师：用式子表示一下：由 ＝( )²，

有： ＝

口答：两个相似三角形的面积比为4∶3，则相似比为＿＿。(生：2∶ )

师：我们四川的大文学家苏轼，现打算在乐山的新广场，按1∶5的相似比，用大理石为其塑造一座雕像，如果苏轼的体积为0.06米³，则需要多少立方米的大理石？

生：这是体积比。

师：是的，请大家想一想，体积比与相似比有何关系呢？

生：……

部分生：应该是相似比的立方。

师：大家再想想，最好能说出为什么？

生：长、宽、高都扩大与缩小k(相似比)倍，其体积将三者乘起来，当然该扩大与缩小相似比的k³倍了。

师：这个想法是正确的。来看最简单的正方体：

有 ＝ ＝k³。

师：现在你能计算出需要多少立方米的大理石吗？

生： ，有x＝0.06×125＝7.3米³。

生感叹：体积要扩大125倍。

生：考吧！(情绪高涨)

师：有放大k倍的(比如线段)；有放大k²倍(比如面积)；有放大k³倍(比如体积)，那么有放不大的图形吗？

生(稍怔)：角。

师：正确。比如直角，无论如何放大，仍然是直角，放大或缩小前后大小的比为1。

谁来把今天的探索的总结一下(下课铃声已经打响了)

生：

相似三角形对应角的比为1；(师插话：即放不大)

相似三角形一切对应线段的比等于相似比；

相似三角形面积的比等于相似比的平方；

相似体的体积的比等于相似比的立方。

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