摘要：“为学之道，必本与思，思则得之，不思则不得也”.解题能力的培养是数学学习永恒的话题.反思是提高解题水平的关键环节.通过反思，可以不断积累经验，培养思维的深刻性与批判性,是激发学生探索数学的兴趣，培养学生解题能力的必然选择.本文通过对知识、概念的反思，对解题思路、过程和途径的反思，对题目特征的反思,对数学思想方法的反思等的探索和实践，简约阐述了如何引导学生在问题解决过程中不断反思，提高学生自我学习数学的能力.
 
关键词：培养  反思  探索
 
古人云：“学贵自得”、“学贵有疑”.学习不主动，不反思，就很难获得深入学习的能力和求异、创新的品质.解题是培养数学思维能力的一个重要环节，但学生的学习如果缺乏解题反思，往往印象很浅，思维的深刻性及批判性得不到发展，数学家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力”.引导学生解题反思能促进学生的理解从一个水平升到更高的水平，促使他们从新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索一般规律，并进而产生新的发现，同时也有助于优化学生的思维品质，提升学生的数学能力.学生只有在思考、再思考的过程中获取知识，才能沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，拓宽思路，优化解法，提高学习效率，增强创造性解决问题的能力，提高学生的自我认识、自我教育水平.本文结合平时的教学实践对解题反思教学作了如下一些肤浅的探索.
一、反思是纠错的重要手段
当代科学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”.因此，反思错误，弄清哪些地方易犯错误，回忆自己解决问题的结果和过程，找出错误的根源，分析出错原因，提出改进措施，明确正确的解题思路和方法，这是培养学生批判性思维的重要途径.
学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有逻辑上、策略上造成的，更有非智力因素造成的，因此在解完一个题目后就有必要对解题的正误作进一步的思考，并及时总结.纠错反思可改善学生思维能力和习惯，提高解题能力.
1、反思所学知识，培养知识的全面性.
如在复习三角形三线（高线、角平分线、中线）这个知识点时，曾发现，很多学生都认为这个知识点太简单，“三角形的三条高所在直线、三条角平分线以及三条中线分别相交于同一点，”“等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线合一”，早已烂熟于心，但一解题还是要出错.
例：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于        .
错解：如图1，∵CD⊥AB，CD=1/2 AC，∴∠A=300.       A   
分析：错误的原因就是学生没有认真理解“三线”这      
个知识点，他们认为“三线”都在三角形内部.              D   
通过学生反思、讨论，最终对“三线” 这个知识点    
有了进一步理解，发现三角形的内心（即角平分线的交点）  B         C  
肯定在三角形内部，三角形三条中线的交点也肯定在三角        图1   
形内部，但三条高线所在直线的交点可能在三角形内部，也可能在外部或其中一个顶点上，于是得出了正解.                                D      
解：（1）当ΔABC是锐角三角形时，              A  
∵CD⊥AB，CD=1/2 AC，∴∠A=300.               
（2）当ΔABC为钝角三角形时，       B        图2        C
∵CD⊥AB，CD=1/2AC，∴∠DAC=300，∴∠BAC=1500.
通过此题的进一步反思，学生们又发现了三角形的外心（即三边垂直平分线的交点）也有三种可能的位置.                             P8     
又如，在等边ΔABC（如图3）所在平面                         
上找一点P，使ΔPAB，ΔPBC，ΔPCA都是等腰  P7           A           P6
三角形，这样的点P共有（    ）个.                P4               P3 
A．1，B．4，C．7，D．10．                          P1      
             A                            B             C    
                                           P9            P2          P10 
                                                           
             B    图3    C                               P5  
错解：选A或选B或选C.                             图4    
通过反思探讨，学生们发现本题的错误在于对图形的分类不全面造成漏解，正确的解法应逐级分类：（1）点P在ΔABC的内部有1个点；（2）点P在ΔABC的外部有9个点，共有10个点.如图4所示.
这两题的反思训练，充分激起了学生求知、求思的积极性和主动性，起到了自我认识教育的目的，同时也唤醒学生要真正理解所学的概念、定理、法则等知识，养成全面思考，善于分析的习惯，提高自我认识水平.
2、反思心理定势，克服思维定“死”
学生的解题过程实质上是一个心智活动过程.学生除了自身知识所限外，还不同程度地受一定的心理因素制约.如心理定势的反作用使解题时学生经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题，缺乏思维的灵活性，从而导致解题迷茫或失误.如在学习了一元二次方程和分式方程后补充了一例.
例：已知关于x的方程x/（x-2）+（2x+k）/x（x-2）=0只有一个实数根，求k的值和这个实数根.
错解：把原方程化为x2+2x+k=0  ①，因为方程只有一个实数根，所以Δ=0，由Δ=22-4k=0，得：k=1，把k=1代入方程①得：x2+2x+1=0，解得：x=-1，经检验：k=1，x=-1为所求.
通过学生对原方程只有一个实数根的理解的反思，发现上解中去分母后的一元二次方程有一个实数根，只考虑了有两个实数根的情况而忽略了另一种情况：化简后的一元二次方程有两个不同的实数根时，只要其中一个根是原方程的增根，那么对原方程来说，仍只有一个实数根所满足它.因此，正确的解法应进一步补充：当有一增根x=2时，由方程①得：k=-8，此时由x2+2x-8=0可解得另一根x=-4；当有一增根x=0时，由方程①得：k=0，此时由x2+2x=0可解得另一根x=-2.
通过此例的反思训练，使学生在纠正错误的过程中巩固了基础知识，理解基本概念的本质，从而明确心理定势会阻碍思维的发展，知道解题时要多层面、多角度地去观察、尝试数学问题，有时可以反客为主，有时可以以退求进，真正克服思维定“死”.
3、反思隐含条件，提高思维全面性
解数学题时往往有这么一种现象：对有一些含有附加条件的问题简单易解，但结果都是错误的，原因是学生没有认真审题，没有充分考虑条件中隐含的深层含义，挖掘所有的内容.
如学习了二次函数后，很多学生在下例中出现了错误.
例：已知边长为4cm的正方形（如图5）截去一角成五边形ABCDE，
且AF=2cm，FB=1cm，在边AB上求点P，使矩形PNDM的面积最大.
错解：设PM=x cm，矩形PNDM         E    A        F 
的面积为y cm2，则y = -x2/2+5x =            M    x     P    
-1/2（x-5）2+12.5，a=-1/2<0，                              B 
∴函数y有最大值.当x=5时，y最大值=12.5，        
即矩形PNDM的面积最大.                    D      N    C  
通过反思,学生们发现了错误的原因：            图5
即由于记住了“当a>0时，函数y有最小值；当a<0时，函数y有最大值”,而忽略了隐含条件“函数自变量x的取值范围”,在2≤x≤4内取不到x=5的值，所以矩形PMDN的最大面积为12.5cm2是错误的.正确解法，应补充函数自变量x的取值范围，进一步求出点P与点B重合时，矩形PNCM的最大面积为12cm2.
通过此题的反思训练，使学生们领悟到读题一定要仔细，要注意对隐含条件的挖掘，提高思维的全面性.
常说：“吃一堑，长一智”.从错误中得到的教训，更能发人深思.学生在解题中往往会出现一些错误的思维方法，只要让学生自己进行反思训练，从中找出错的思维方法，才能更好地查出错误，索取新知.
二、解题反思的有效途径
“学而不思则罔，思而不学则殆”.在数学学习中，许多同学只注意解题的数量，而不重视解题的质量；只重视解题的结果，而不重视解题的过程.要让学生形成良好的学习方法，就必须把学生从题海中领出来，引导学生从解决问题的方法、规律、思维策略等方面进行多角度、多侧面的反思，总结解题的经验教训.
1、反思解题规律，培养学生深入钻研的习惯及探索精神，提高解题能力
同一类型的问题，解题方法往往有其规律性，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西，以现在的解决问题的经验帮助今后的问题解决，提高解题能力.

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