如：判断下列各式是否成立？ (1) =2  ,   (2)  =3  ,  (3)  ,   (4) .
学生们经过运算，很快就能判断出（1）（2）（3）式成立，（4）式不成立.
教师可不失时机地引导学生反思透过事物表面现象，洞察本质，探索解题规律，并提出问题：哪些二次根式根号里面的数可以移到根号外面来？
学生们通过观察等式两边的数，于是得出了一般式子：
,（a为大于1的整数）
通过反思，引导学生从特殊到一般，从而推广出一类问题的解决办法，这有利于培养学生的深入钻研的良好习惯，提高解题能力.
2、反思解题的思维过程，可开阔思路，培养思维的灵活性
解题的关键是从已知和未知中寻找解题途径，学生在做完一道题后的反思，不仅是简单回顾或检验,而应根据题目的基本特征与特殊因素,进行多角度、多方位的观察、联想.反思自己的解答是否有错，错误的原因是什么？若解答正确则想一想有无新的解题途径？若有另解则应分析比较,找出最佳解法,最后再总结一下解答此类题目有无规律可循？使学生思维的灵活性在变换和化归的训练中得到培养和发展.
如：二次方程ax2+bx+c=0，两实根的平方和为m，两根和为n，试求am+bm+2c的值.
对于此题，很多学生在练习时，没有清晰的思路，有些学生考虑了根与函数的关系，虽然能解出此题，但过程较为繁琐.于是在点评时，鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征，比较所求目标am+bm+2c与方程ax2+bx+c=0，就会发现它们中a、b、c出现的顺序完全一致，只是目标中c的系数为2，方程中c的系数为1，而从1到2的最简单的方法就是加法.经过如此反思、探索，基础较好的学生马上顿悟过来，为什么不利用方程根的定义来解决这一问题呢？于是得到如下简捷的求法.
解：设方程的两根分别为x1、x2，则有ax21+bx1+c=0  ①，ax22+bx2+c=0  ②，式①+式②得：a（x21+x22）+b（x1+ x2）+2c=0，而由已知得x21+x22=m，x1+ x2=n，∴am+bn+2c=0.
又如在梯形的复习课中安排了如下一例.
例：如图6，已知梯形ABCD的上底AD=1cm，下底BC长为4cm，对角线AC长4cm，BD长3cm，求梯形的面积.
初出示此题，就有学生提出要作梯形的高线，当然求梯形的面积确实需要“高”，于是过A作梯形的高AE，但这条高线的长度是多少呢？学生沉默了，于是又有同学提出来过D作梯形的高DF，就可通过列方程来解了，于是得出了一解.
解：分别过点A、点D作梯形的高AE、DF，设AE、DF为x cm，BE为y cm，
在RtΔAEC中由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即x2+（4-y）2 = 42，
同理在RtΔDBF中得x2+（1+y）2 = 32，
即： x2+（4-y）2 = 42   ①     解得：   x = 12/5，
        x2+（1+y）2 = 32  ②              y = 4/5，
∴高线AE=12/5，梯形ABCD的面积 = 1/2（1+4）×12/5 = 6 (cm2).
          A       D                           A        D        
              O                                              
                                                           
      B                          C         B     E     F             C
                图6                                 图7      
虽然二元二次方程组还没有学，但解方程组过程中，可以发现二次项都可以消去，因此，此法可行.
以上的解法比较直接，面积公式中的“高”不知道，于是就想到求高，同时此题还灵活地运用了勾股定理及二元二次方程组.
在学生正确解答后，及时对上解进行了了总结，并引导学生反思题目特点，引导学生能否换个思路，不直接求梯形的高去求面积？
通过学生反思、讨论，于是有些学生发现了两条对角线的长度，与上、下底长度和的特殊关系，并结合图形提出可能AC⊥BD，同时经过学生分析、讨论，此时梯形将被分割成四个直角三角形，梯形的面积是两个都以AC为底的ΔADC与ΔABC的面积和，而它们的高的和就是BD，于是梯形的面积就是对角线积的一半.同时发现和菱形求面积方法一致.结合梯形常用辅助线作法，于是学生们很快找到了只要过A作BD的平行线，利用勾股定理逆定理就可证得AC⊥BD，于是马上得出了第二解.                                   A          D      
解二：过点A作AE//BD                             
交CB的延长线于E，由AD//BC                           
得AD=BE=1cm，AE=BD=3cm，     E       B       图8              C
所以ΔAEC中AE=3，EC=1+4=5，AC=4，∴∠EAC=900，又AE//BD，∴∠BOC = 900，即AC⊥BD，∴梯形ABCD面积 = 1/2 AC•BD = 1/2×4×3 =6（cm2）.
此时学生的思维处在获得成功的兴奋中，于是不失时机地引导学生思考：能否把此题推广到一般四边形中？
经过学生们探索、反思，马上有学生得出了结论：“任意四边形如果对角线互相垂直，那么面积可用对角线积的一半”（证明可留给学生作为课外作业）.
通过对解题思维的反思，重新审查题意，更正确、完整、深刻地理解了题目的条件和结论，激活了学生的思维，开阔了思路，使各种技能与方法相互渗透，使较多的知识点得到了复习巩固，学生自己通过实例还“拓展”了一个定理，虽然此结论早就有了，但学生自己发现了并合理地运用了，使学生的解题能力得到了提升、发展.
3、反思解题的过程与途径，拓宽思路，优化思维方式
“欲穷千里目，更上一层楼”.解题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合.很多数学题有多种解法，如能认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，有没有更好的解法，可以开拓思路，养成“从优”、“从快”的解题思维方式.
如在复习 解方程组时，给学生留了一题有相同解的二元一次方程组.
例：若关于x、y的方程组     7x+5y = 12 a+1  和    2x-3y = 5-5b
5x+7y = -1           2x-4y = 3
有相同的解，试求a、b的值.
大部分学生在解题时都想到了先解两个关于x、y二元一次方程组，解法如下：
解一：分别解两个方程组，得它们的解为：
x =（7a+1）/2，               x =（11-20b）/2，
y =  -（5a+1）/2；               y =  2-5b.
由于两个方程组的解相同，所以有
（7a+1）/2 =（11-20b）/2，  解之得：    a = 0，
-（5a+1）/2 = 2-5b，                    b = 1/2.
此解法是根据解方程组的步骤先求出原方程组的解，再由相同的解的意义构造出a、b的方程组，求出a、b的值.其思路自然，但运算较繁，而且很多学生不习惯解字母系数方程.
于是趋势打铁，让学生反思方程组解的意义，于是通过学生的反思、探索，得到了如下解法：
解二：由两个方程组的解相同，所以根据方程组的解的意义有：
7x+5y=12a+1  ①     由②、④解得x = 1/2，y = -1/2， 
5x+7y=-1     ②     再分别代入①、③求得：  a = 0
2x-3y=5-5b   ③                             b = 1/2
2x-4y=3      ④
此解法巧用了方程组的意义，得到一个四元一次方程组，求出a、b的值，其思路巧妙、运算简捷，既使方程组解的概念得到了巩固，又优化了解题，使学生思维的发散性、灵活性得到了培养，解题能力得到了发展.
4、反思题目特征，培养思维发散
江总书记曾指出：“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力”.而反思题目特征，从多角度、多方面、多层次去思考问题、认识问题和解决问题，通过反思题目特征，将题目逐步引申、变式、推广，不仅能巩固所学知识，而且能培养和发展学生思维的广阔性和创造性.特别在上复习课时，内容不必面面俱到，但在重点知识的深度和广度上进行挖掘和拓展，可培养学生广泛联想的思维品质，训练学生发散思维的能力和应变能力.
例：已知：如图9，点C为线段AB上的一点，ΔACM、ΔCBN是等边三角形，求证：AN=BM.
在直接证明原问题后，可改变题目的条件，使图形发生变化，在运动变化中观察相关图形的变化，发现隐含其中的不变量，从中发现规律.
变式一：如图10，上题中当条件不变时，ΔACM、ΔCBM在AB异侧时，结论还成立吗？请说明理由.
                        N                                N  
                                          
         M                                            
            P        Q                             
                                       A         C                   B
     A          C                  B                         
                   图9                              
                                           M          图10      
                            N                  E               F
                                                
 M          C                       G      D                  
                                              
                                                     
        A                       B     A       C                B
                  图11                               图12
变式二：如图11，上题中，当条件不变时，点C在AB外时，结论还成立吗？请说明理由.
变式三：当原条件不变，设AN与MC相交于P点，NC与MB交于Q点，连结PQ，试判断并证明：（1）ΔPQC是什么三角形？（2）PQ与AB有什么关系？请说明理由.
变式四：如图12，若在线段AB上取一点C，在AB的同侧作正方形ACDG和正方形BCEF，AE=BD吗？AE⊥BD吗？请说明理由.
这一组变式题，证明过程都不复杂，但通过对原题适当的变形、适度的引申、有利于引导学生深入挖掘、大胆猜想、积极探求、拓广引申，有利于激发和培养学生的探索精神.在复习教学中，也充分证实了这一点.不仅活跃了课堂气氛，学生们的思维广阔性也得到了发展.
解（略）.
5、反思数学思想方法，提高数学素质
日本数学家、教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些都随时随地发生作用，使他们终身受益”.在解题时如先思考题目特征，寻求基本思想方法，或在每一次解题后，都对自己的思路作出评价，对解题过程中反映的数学思想、方法进行总结、概括，这样长此以往，不仅能巩固知识，避免解题错误，还可以把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为一个学习过程，提高学生的分析问题、解决问题的能力，优化他们的数学思维，达到融会贯通的境界.
如通过反思发现，解一些找规律类题时，往往可用归纳猜想的思想；解应用题时，可利用设元、消元思想；解一些最优化类题时，往往可用函数、方程、不等式的思想；在求一些函数解析式时，往往可用数形结合、转化、待定系数的思想等.因此，数学思想方法是数学的灵魂，是知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.
解题反思是一门很深的学问，还包括很多方面，本文只是对解题过程、对题意理解、对问题本身的再思考，对数学思想方法等方面进行反思探索.反思最重要的是要学生学会自己反思，通过我们教师的示范、引导，能够自觉地进行反思，逐步养成一种反思的意识和习惯.实践证明，在数学教学中，经常引导学生积极地反思自己的学习活动，能优化认知结构，提高学习效率，激发学生的创新意识，使之成为创新型人才.
 
 
主要参考文献：
1、《在数学认知建构中发展学生元认知能力》，梁云，《数学教学通讯》2003.2.
2、《数学探究性教学中应树立几种意识》，林婷，《数学教学通讯》2005.1.
3、《反思及其教学功效》，林婷，《数学教学通讯》2002.11.
4、《数学学习中常见错误的分析与防止对策》，夏克旺，《中学数学教育》2005.6.
5、《重视“解题后的反思”，培养学生思维品质》，马洪炎，《数学教学通讯》2002.6.

上一页  [1] [2]